Nejnavštěvovanější odborný portál pro stavebnictví a technická zařízení budov

Protipožární ochrana stavebních konstrukcí s použitím matematického modelování

Při hodnocení protipožární ochrany stavebních konstrukcí se projektanti často dostávají do situací, kdy mají pro sledovaný cíl vybrat nejvhodnější variantu. Úloha většinou nebývá jednoznačná a svádí k intuitivnímu řešení. Ve všech těchto případech lze použít rozhodování s použitím matematiky. Tento příspěvek ukazuje ve variantním řešení na možné způsoby hodnocení optimálního výběru protipožárních ochranných prostředků stavebních konstrukcí. Použité metody a principy řešení jsou doplněny praktickými příklady.

Ochrana stavebních konstrukcí před účinky požáru

Mezi funkce, které musí každá stavební konstrukce plnit, je ochrana uživatelů objektů před účinky požáru. Největší význam této ochrany se uplatňuje u nosných stavebních konstrukcí, na nichž závisí nosnost a stabilita budov. Nosné stavební konstrukce mohou být prováděny:

  1. ze dřeva,
  2. z oceli,
  3. z betonu prostého, vyztuženého nebo předpínaného,
  4. ze zdiva.

Kromě zdiva, u kterého se z požárního hlediska nevyskytují žádné problémy, je nutno při aplikaci ostatních materiálů přihlížet k jejich specifickým zvláštnostem, a to:

  1. u dřeva k jeho hořlavosti,
  2. u oceli k její rychlé ztrátě mechanických vlastností,
  3. u železobetonu a předpjatého betonu k teplotě na styku s výztuží.

Stavební konstrukce se statickou funkcí mohou být chráněny protipožárními prostředky, které lze v podstatě rozdělit do následujících skupin:

a) Tradiční ochrana obezděním nebo s použitím betonu

Pro svoje nevýhody (hmotnost, tloušťka, mokrá technologie atd.) stále více ustupuje do pozadí.

b) Protipožární omítky

V současné době podle složení malty rozeznáváme tyto druhy nanášených omítek:

  1. sádroperlitové nebo sádrovermikulitové,
  2. sádrové nebo vápenosádrové,
  3. vápenné, vápenocementové nebo cementové;

c) Protipožární nástřiky

Používají se mnohem častěji než omítky, zejména pro svoji malou hmotnost ochranné vrstvy při vyšší účinnosti požární odolnosti a poměrně i nižší staveništní pracnosti. Technologie nástřiků je analogická jako u omítání, pouze nanášení ochranné vrstvy se provádí strojně pod tlakem. Jedná se především o silikátové hmoty, obsahující obvykle lehčené složky s vysokým obsahem vzduchu, případně doplněné o další plniva (např.vermikulit, expandovaný perlit atd.), které zlepšují jejich tepelně izolační vlastnosti.

d) Protipožární nátěry

Na základě své funkce a účelu rozeznáváme tyto protipožární nátěrové systémy:

  1. zábranové – brání přístupu plamene k povrchu předmětu,
  2. intumescentní (zpěnitelné) – chrání povrch konstrukce pomocí nehořlavé pěny,
  3. sublimující – uvolňují plyny znemožňující přístup plamene k povrchu konstrukce.

e) Impregnace dřeva

Rozhodující význam mají retardéry hoření, zpomalující hořlavost dřeva na základě:

  1. zábrany přístupu kyslíku k vnějšímu i vnitřnímu povrchu dřeva,
  2. zředění hořlavých plynů, které se vznikají tepelným rozkladem dřeva, plyny nehořlavými,
  3. izolace dřeva od vnějšího tepelného zdroje tuhou izolační vrstvou – pěnou,
  4. endotermické reakce podporující tvorbu zuhelnatělé izolační vrstvy dřeva,
  5. zastavení úplné oxidace uhlíku v zuhelnatělé vrstvě až na oxid uhličitý, čímž brání žhavení dřevěného uhlí jako potenciálního zdroje dalších požárů.

f) Protipožární deskové obklady

V závislosti na jejich materiálovém základu je možno protipožární desky rozdělit na:

  1. desky na bázi sádry,
  2. desky na bázi vermikulitu,
  3. desky na bázi cementu,
  4. desky na kombinované bázi vápna a cementu.

g) Lepené obklady z minerálních vláken

Jedná se o polyfunkční lepený protipožární obklad na bázi čedičové plsti Ordexal, který zajišťuje požadované parametry požární bezpečnosti R, E, I, W všech materiálových skupin stavebních konstrukcí (ocel, dřevo, železobeton). Na rozdíl od všech protipožárních desek, se zde nejedná o konstrukční prvky splňující funkci pouze zvýšení požární odolnosti konstrukcí zhotovených z jiných hmot, ale slouží pro více účelů (tepelná a zvuková izolace, požárně odolné desky pro zvýšení požární odolnosti, výplň křídel požárních uzávěrů, těsnění dilatačních spár).

Z uvedených variant bývá často problematický výběr vhodného ochranného prostředku nejen mezi jednotlivými skupinami (vyžaduje perfektní znalosti o jednotlivých skupinách), ale i v rámci jedné skupiny. Tato situace se ještě komplikuje po vstupu ČR do Evropské Unie, kdy se na trhu objevují kromě domácích i zahraniční výrobky, a to ve značném počtu. Rozhodování bývají často intuitivní a vedou k častým a někdy i časově náročným diskusím. Proto v takovém případě je vhodné řešit optimální výběr na základě matematického modelování s použitím teorie vicekriterálního rozhodování.

Teorie vícekriteriálního rozhodování

Teorie vícekriteriálního rozhodování zahrnuje širokou škálu nejrůznějších metod, z nichž jen některé jsou vhodné pro určitý konkrétní případ. Rozhodnutí pak spočívá ve výběru jedné z několika variant, která se jeví jako optimální. Z tohoto důvodu je vhodné jednotlivé metody analyzovat.

Metody se základní informací o kritériích

Řada metod vícekriteriálního hodnocení variant vyžaduje základní informaci o relativní důležitosti kritérií, kterou můžeme vyjádřit pomocí vektoru vah kritérií

ν = (ν1, ν2, …, νk) ,
ki=1νi = 1,
νi ≥ 0
(1)
 

Čím je důležitost kritéria větší, tím je větší i jeho váha. Získat od uživatele přímo hodnoty vah je velmi obtížné, avšak existují metody, které na základě jednodušších subjektivních informací od uživatele konstruují odhady vah.

Rozhodování o kritériích ve formě vah

Forma vah patří mezi nejčastěji používané modely preference mezi kritérii. Zahrnuje následující metody:

  1. metoda pořadí,
  2. metoda bodovací,
  3. metoda párového srovnání kritérií,
  4. metoda kvantitativního párového srovnání kritérií

Metody vyhodnocující váhy kritérií

Metod vyžadujících k vícekriteriálnímu vyhodnocení variant znalost vah kritérií, je nejvíce. Mezi ně patří např. metoda funkce užitku, metoda váženého součtu, permutační metoda, metoda TOPSIS apod. Některé z nich jsou založeny na principu maximalizace užitku (např. metoda váženého součtu), jiné na principu minimalizace vzdálenosti od ideální varianty (např. metoda TOPSIS).

Princip maximalizace užitku vychází z konstrukce hodnoty užitku, kterou přináší výběr určité varianty, na stupnici 0 a 1. Čím je varianta vhodnější podle nějakého kritéria, tím je vyšší hodnota užitku. Z hlediska všech kritérií se varianta ohodnotí celkovou hodnotou užitku, kterou dostaneme seskupením dílčích hodnot užitku s použitím vah kritérií.

Uplatnění rozhodovacích procesů v modelových příkladech

Teorii vícekriteriálního rozhodování lze aplikovat na praktických příkladech, které mají reprezentovat jednotlivé metody založené na znalosti vah kritérií. Uvedené příklady se vztahují k optimálnímu výběru následujících protipožárních ochranných prostředků:

  1. deskového obkladu ocelových nosníků s použitím metody váženého součtu,
  2. transparentního zpěnitelného nátěru dřevěné konstrukce s použitím permutační metody,

Příklad výběru optimálního obkladu ocelových nosníků metodou váženého součtu

Úkolem je určit nejvýhodnější variantu ze 6 protipožárních obkladových desek a1, a2, a3, a4, a5, a6, které se hodnotí podle šesti kritérií:
f1 – objemová hmotnost [kg·m-3] (min),
f2 – pevnost v tahu za ohybu (v podélném směru) [MPa] (max),
f3 – koeficient tepelné vodivosti λ [W·m-1·K-1] (min),
f4 – ustálená vlhkost [%] (min),
f5 – modul pružnosti (v podélném směru) [MPa] (max),
f6 – minimální požární odolnost [min] pro ocelové nosníky poměru O/A = 300 m-1(max).

Použité obkladové desky tloušťky 20 mm:
a1 – Fireboard (sádrovláknité Knauf),
a2 – Ridurit (sádrovláknité Rigips),
a3 – Cetris (cementotřískové),
a4 – Promatect H (vápenosilikátové),
a5 – Promaclad (vermikulitové),
a6 – Thermax SL (vermikulitové).

Výchozí kriteriální matice Y:

 f1
(min)
f2
(max)
f3
(min)
f4
(min)
f5
(max)
f6
(max)
 
a1 7804,700,211,0280045 
a211406,700,250,5430030
a313009,000,359,0450045
a48707,600,1757,5420060
a54000,790,084,030945
a64751,500,144,032030

Kriteriální matice se upraví na tvar, kdy všechna kritéria budou maximalizační. Pro minimalizační kritéria určíme nejhorší hodnoty:

f1 = 1300;
f3 = 0,35,
f4 = 9,0.
 

Od těchto hodnot se odečtou kriteriální hodnoty dané varianty. Tím se převede ohodnocení variant podle minimalizačního kritéria na ohodnocení, o kolik jsou varianty lepší než nejhorší varianta, a tím na maximalizační kritérium. Upravená kriteriální matice má potom tvar:

 f1
(max)
f2
(max)
f3
(max)
f4
(max)
f5
(max)
f6
(max)
 
a1 5204,700,148,0280045 
a21606,700,108,5430030
a309,0000450045
a44307,600,181,5420060
a59000,790,275,030945
a69251,500,215,032030

Pro nejvíce preferovanou hodnotu Hj kritéria fj dostaneme H = (900; 9,00; 0,27; 8,5; 4500; 60). Naopak, pro nejméně preferovanou hodnotu Dj kritéria fj vychází D = (0; 0,79; 0; 0; 309; 30). Nyní je třeba stanovit váhy jednotlivých kritérií. K tomu lze použít několik metod.

Metoda pořadí:

Uživatel stanovil pořadí důležitosti kritérií a podle tohoto pořadí byly kritériem přiřazeny hodnoty 6 až 1, jejich součet je 21. Váhy byly určeny na dvě desetinná místa.

Kritériaf1f2f3f4f5f6
Pořadí543261
Hodnoty234516
Váhy0,090,140,190,240,050,29

Metoda bodovací:

Uživatel ohodnotil kritéria podle bodovací stupnice ⟨0,100⟩. Celkem rozdělil 370 bodů (40 + 50 + 75 + 85 + 30 + 90).

Kritériaf1f2f3f4f5f6
Body405075853090
Váhy0,1080,1350,2030,2300,0810,243

Metoda párového srovnání kritérií:

Uživatel vyplnil údaje ve Fullerově trojúhelníku a z těchto údajů byly vypočteny váhy.

11111n1 = 1v1 = 0,07
23456n2 = 2v2 = 0,13
2222n3 = 3v3 = 0,20
3456n4 = 4v4 = 0,27
333n5 = 0v5 = 0,00
456n6 = 5v6 = 0,33
44
56N = 15∑ = 1,00
6

Metoda kvantitativního párového srovnání kritérií:

Uživatel vyplnil Saatyho matici a na základě následujícího označení

si = kj=1sij
Ri = (si)1/k
νi = Riki=1Ri
 

byly vypočteny váhy.

 f1f2f3f4f5f6  siRivi
a1 1½¼½ 1/2400,400,05
a221½22/90,780,11
a3321½3½9/21,280,17
a443214½481,910,26
a52½¼11/600,510,07
a64322512402,490,34
7,371,00

Jak je zřejmé z předchozích výběrů vah, jednotlivé metody ve svých důsledcích nejsou zcela stejné. Z výše uvedených metod patří metoda kvantitativního srovnání k nejfrekventovanějším a nejspolehlivějším. Potom lze vytvořit normalizovanou kriteriální matici R = (rij), jejíž prvky mohou být získány z kriteriální matice Y = (yij) pomocí transformačního vztahu (14). Tato matice již představuje matici hodnot užitku z i-té varianty podle j-tého kritéria.

Podle vzorce (14) lze lineárně transformovat kriteriální hodnoty tak, že rij ∈ ⟨0,1⟩, Dj odpovídá hodnota 0 a Hj odpovídá hodnota 1. Potom užitek z varianty ai je roven výrazu (15). Při výběru vah získaných pomocí Saatyho matice lze potom pomocí vzorců (14) a (15) určit celkové hodnoty užitku jednotlivých variant ze sloupcové matice u(ai):

 f1
(max)
f2
(max)
f3
(max)
f4
(max)
f5
(max)
f6
(max)
  u(ai)
a1 0,5780,480,520,940,590,50 0,626
a20,1780,720,3710,9500,478
a3010010,500,350
a40,4780,830,650,180,9310,678
a51010,5900,500,543
a60,9120,090,780,590,00200,342

ν = (0,05; 0,11; 0,17; 0,26; 0,07; 0,34)

Maximální hodnoty užitku dosahuje varianta a4 a je vybrána jako nejlepší. Uspořádáním variant podle hodnot užitku dostáváme pořadí a4, a1, a5, a2, a3 a a6.

Příklad výběru optimálního transparentního intumescentního nátěru dřevěné konstrukce permutační metodou

Úkolem je určit nejvýhodnější transparentní intumescentní nátěr na dřevěné konstrukci ze tří následujících typů (a1, a2, a3):
a1 – Promadur bezbarvý
a2 – Flamgard Transparent
a3 – Dexaryl B – Transparent

Nátěry jsou vybírány na základě kritérií f1, f2, f3, f4, uspořádanými podle důležitosti:
f1 – životnost [roky] (max),
f2 – zvýšení požární odolnosti [min] (max),
f3 – cena [Kč/kg] (min),
f4 – vydatnost [m2/kg] (max).

Dále je nutno stanovit pořadí výhodnosti transparentních intumescentních nátěrů z uvedeného výběru. Základní kriteriální matice úlohy má tvar:

 f1f2f3f4 
a1 5142502,4 
a210112702,0
a310144501,8

Upravená kriteriální matice pro maximalizační kriteria má tvar:

 f1f2f3f4 
a1 5142002,4 
a210111802,0
a3101401,8

Z uspořádání kritérií podle důležitosti f1, f2, f3, f4 je možné určit váhy kritérií několika metodami.

Metoda pořadí

Stanoví se pořadí důležitosti kritérií a podle tohoto pořadí jsou kritériím přiřazeny hodnoty 4 až 1, jejich součet je 10. Váhy se určí na jedno desetinné místo.

Kritériaf1f2f3f4
Pořadí1234
Hodnoty4321
Váhy0,40,30,20,1

Metoda bodovací

Kritéria se hodnotí podle bodovací stupnice. Celkem je rozděleno 220 bodů (90 + 75 + 40 + 15).

Kritériaf1f2f3f4
Body90754015
Váhy0,410,340,180,07

Metoda párového porovnání kritérií

Váhy byly vypočítány z údajů ve Fullerově trojúhelníku

111n1=3w1=0,5
234n2=2w2=0,33
22n3=1w3=0,17
34n4=0w4=0
3
4N=6

Z uvedených metod se pokračuje s výsledky bodovací metody, kde jsou mezi jednotlivými kritérii nestejné rozdíly a všechna kritéria mají nenulové hodnoty. Podle ní vektor vah v = (0,41;  0,34;  0,18;  0,07). Počet permutací pořadí tří variant je 3!  =  6.

Pro permutaci P1 = (a1a2a3) určíme matici

 123
1 00,590,59 
C1=20,4100,66
30,520,520

kde:
c12 = ∑hI12νh = ν2 + ν3 + ν4 = 0,34 + 0,18 + 0,07 = 0,59;
c13 = ∑hI13νh = ν2 + ν3 + ν4 = 0,34 + 0,18 + 0,07 = 0,59;
c23 = ∑hI23νh = ν1 + ν3 + ν4 = 0,41 + 0,18 + 0,07 = 0,66;
c21 = ∑hI21νh = ν1 = 0,41;
c31 = ∑hI31νh = ν1 + ν2 = 0,34 + 0,18 = 0,52;
c32 = ∑hI32νh = ν1 + ν2 = 0,34 + 0,18 = 0,52;
R1 = ∑ijcij − ∑ijcij = (0,59 + 0,59 + 0,66) − (0,41 + 0,52 + 0,52) = 1,84 − 1,45 = 0,39;

Z výrazu pro ukazatel R je zřejmé, že tento ukazatel je vždy rozdílem mezi součtem prvků matice C nad hlavní diagonálou a součtem prvků matice pod hlavní diagonálou.

Analogicky lze provést výpočet pro další permutace:

P2 = (a1a3a2)
Prvky matice C2:
c13 = ν2 + ν3 + ν4 = 0,34 + 0,18 + 0,07 = 0,59;
c12 = ν2 + ν3 + ν4 = 0,34 + 0,18 + 0,07 = 0,59;
c31 = ν1 + ν2 = 0,34 + 0,18 = 0,52;
c32 = ν1 + ν2 = 0,34 + 0,18 = 0,52;
c21 = ν1 = 0,41;
c23 = ν1 + ν3 + ν4 = 0,41 + 0,18 + 0,07 = 0,66;

 132
1 00,590,59 
C2=30,5200,52
20,410,660

R2 = (0,59 + 0,59 + 0,52) − (0,52 + 0,66 + 0,41) = 1,70 − 0,59 = 0,11;

P3 = (a2a1a3)
Prvky matice C3:
c21 = ν1 = 0,41;
c23 = ν1 + ν3 + ν4 = 0,41 + 0,18 + 0,07 = 0,66;
c12 = ν2 + ν3 + ν4 = 0,34 + 0,18 + 0,07 = 0,59;
c13 = ν2 + ν3 + ν4 = 0,34 + 0,18 + 0,07 = 0,59;
c32 = ν1 + ν2 = 0,34 + 0,18 = 0,52;
c31 = ν1 + ν2 = 0,34 + 0,18 = 0,52;

 213
2 00,410,66 
C3=10,5900,59
30,520,520

R3 = (0,41 + 0,66 + 0,59) − (0,59 + 0,52 + 0,52) = 1,66 − 1,63 = 0,03;

P4 = (a2a3a1)
Prvky matice C4:
c23 = ν1 + ν3 + ν4 = 0,41 + 0,18 + 0,07 = 0,66;
c21 = ν1 = 0,41;
c32 = ν1 + ν2 = 0,34 + 0,18 = 0,52;
c31 = ν1 + ν2 = 0,34 + 0,18 = 0,52;
c12 = ν2 + ν3 + ν4 = 0,34 + 0,18 + 0,07 = 0,59;
c13 = ν2 + ν3 + ν4 = 0,34 + 0,18 + 0,07 = 0,59;

 231
2 00,660,41 
C4=30,5200,52
10,590,590

R4 = (0,66 + 0,52 + 0,41) − (0,52 + 0,59 + 0,59) = 1,59 − 1,70 = −0,11;

P5 = (a3a1a2)
Prvky matice C5:
c31 = ν1 + ν2 = 0,34 + 0,18 = 0,52;
c32 = ν1 + ν2 = 0,34 + 0,18 = 0,52;
c13 = ν2 + ν3 + ν4 = 0,34 + 0,18 + 0,07 = 0,59;
c12 = ν2 + ν3 + ν4 = 0,34 + 0,18 + 0,07 = 0,59;
c23 = ν1 + ν3 + ν4 = 0,41 + 0,18 + 0,07 = 0,66;
c21 = ν1 = 0,41;

 312
3 00,520,59 
C5=10,5900,59
20,660,410

R5 = (0,52 + 0,59 + 0,59) − (0,59 + 0,66 + 0,41) = 1,70 − 1,66 = 0,04;

P6 = (a3a2a1)
Prvky matice C6:
c32 = ν1 + ν2 = 0,34 + 0,18 = 0,52;
c31 = ν1 + ν2 = 0,34 + 0,18 = 0,52;
c23 = ν1 + ν3 + ν4 = 0,41 + 0,18 + 0,07 = 0,66;
c21 = ν1 = 0,41;
c13 = ν2 + ν3 + ν4 = 0,34 + 0,18 + 0,07 = 0,59;
c12 = ν2 + ν3 + ν4 = 0,34 + 0,18 + 0,07 = 0,59;

 321
3 00,520,52 
C6=20,6600,41
10,590,590

R6 = (0,52 + 0,52 + 0,41) − (0,66 + 0,59 + 0,59) = 1,45 − 1,84 = −0,39;

Hodnota R1 = 0,39 je maximální, a proto optimální pořadí při daných vahách bodovací metody v = (0,41; 0,34; 0,18; 0,07) je (a1a2a3). Při párovém porovnání kritérií a při použití metody pořadí vychází maximální hodnota R1 = 0,39 a optimální pořadí bude stejné jako v předchozím případě (a1a2a3).

Závěr

Uvedená analýza povrchových úprav stavebních konstrukcí protipožárními ochrannými prostředky by měla pomoci především projektantům, stavařům, odborným pracovníkům v požární ochraně, ale i širší veřejnosti jak z oboru stavebnictví, tak i požární ochrany při výběru optimální povrchové úpravy nosných stavebních konstrukcí. Kromě teoretické analýzy jednotlivých aplikovatelných metod mohou být seznámeni i s jejich praktickým využitím. Předpokladem pro využití matematického modelování pro rozhodování je však znalost jednotlivých srovnávacích parametrů, které u některých dovážených výrobků zatím chybí nebo uváděné parametry jsou nedostačující. Právě proto v rámci EU je nutno harmonizovat technické údaje jednotlivých výrobků, aby mohly být v jednotlivých členských státech plně a spolehlivě využity.

Tento příspěvek je součástí Výzkumného záměru CEZ MSM 6840770006 Management udržitelného rozvoje životního cyklu staveb, stavebních podniků a území.

Literatura

  • [1] Kupilík, V.: Konstrukce pozemních staveb – Požární bezpečnost staveb, Učební texty VŠ, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2009
  • [2] Kupilík, V.: Protection of Wood against Fire, 3rd International Conference on Advanced Engineering Design (AED 2003), 1st Edition Authors of full texts, Prague, 1 – 4.6.2003, ISBN 80-86059-35-9
  • [3] Kupilík, V.: Fire Resistance of Steel Elements with the Optimum Selection of the Protective Encasement, 3th International Conference on Computing, Communications and Control Technologies, Proceedings – Volume III, International Institute of Informatics and Systemics – International Federation of Systems Research (IFSR), 24 – 27 July, 2005 – Austin, Texas, USA, pp.80 - 84, ISBN 980-6560-48-5
English Synopsis
Fire protection of buildings structures with application of mathematic modelling

When evaluating the fire protection of building structures, the designers often get into situations when they have to choose the most appropriate option. The issue is usually not clear and brings the intuitive solution. In all these cases, decisions can be applied by using mathematics. This paper shows a variant solution in the possible ways of assessing the optimal choice of fire protection equipment in buildings. The methods and principles of the solutions are complemented by practical examples.

 
 
Reklama